Equations de Maxwell dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS)

Interprétation et expressions des lois locales de l'électromagnétisme dans l'ARQS; Les opérateurs divergence et rotationnel en physique. Passage aux expressions intégrales(Théorème d'Ampère, théorème de Gauss). Théorème de Green-Ostrogradski. Energie électromagnétique.

Optique ondulatoire (1) : Interférences

Théorie scalaire; conditions d'obtention; notion de cohérence spatiale; notion de cohérence temporelle; notion de train d'ondes; contraste et brouillage de l'image obtenue. Durée de vie et longueur de cohérence. Système à division du front d'onde et à division d'amplitude. Application: Fentes d'Young et Michelson.

Optique ondulatoire(2): Diffraction

Conditions de Fraunhofer; expression de l'amplitude diffractée : fonction transmittance. Cas d'une fente infiniment fine; cas de la fente rectangulaire : figures de diffraction; sinus cardinal : étude complète et interprétation. Apodisation; étoiles doubles; pouvoir de résolution; strioscopie; théorème de Babinet.

Ondes mécaniques et ondes acoustiques(1/2)

Equation de d'Alembert; la corde vibrante; chaine d'atomes : passage au milieu continu; loi de Hooke; dispersion, absorption; energie. Approximation acoustique; application à un gaz parfait : justification de l'adiabacité; pression et vitesse acoustiques; intensité acoustique; énergie;relation de continuité à l'interface entre 2 milieux : impédance acoustique.

Ondes mécaniques et ondes acoustiques(2/2)

Voir description du module : Ondes mécaniques (1/2)

Chimie organique (1) : Spectroscopie IR et RMN.

Principe de la spectroscopie IR. Principe de la spectroscopie RMN du proton : notion de déplacement chimique du proton, couplage spin-spin, constante de couplage, intégration.

Chimie organique (2) : Alcènes

Hydrogénation avec catalyse hétérogène. Époxydation par un peroxyacide. Hydrolyses des époxydes. Syn-dihydroxylation par le tétraoxyde d’osmium. Obtention d’un alcool primaire par hydroboration d’un alcène terminal. Ozonolyse. Réaction de Diels-Alder.

Chimie organique (3) : Hydrocarbures Aromatiques.

Aromaticité. Substitution électrophile aromatique. Interprétation de l’orientation d’une seconde substitution dans le cas de l’anisole et du nitrobenzène. Règles de Holemann.

Chimie organique (4) : Aldéhydes et cétones.

Préparation par oxydation des alcools. *Additions nucléophiles. Notion de tautomérie. Réaction en a du groupe carbonyle. Réactions de l’ion énolate. C-alkylation (mécanisme). Addition conjuguée sur les a-énones. Réaction de Wittig.

Chimie organique (5) : Acides carboxyliques et dérivés.

Synthèse des esters. Synthèse des amides. Saponification des esters. Hydrolyse des nitriles et des amides. Réduction des esters. Synthèse malonique.

Oxydoréduction en phase aqueuse (1) : Diagramme potentiel-pH.

Construction et utilisation des diagrammes potentiel-pH: application à l’hydrométallurgie (lixiviation, purification, cémentation).

Thermodynamique (1) : Potentiel chimique.

Définition du potentiel chimique. Variations du potentiel chimique d’un corps pur. Expression du potentiel chimique d’un composé pur. Relation de Gibbs-Duhem. Expression du potentiel chimique. Notions d’activité, de coefficient d’activité, de fugacité et de coefficient de fugacité.

Thermodynamique (2) : Grandeurs de réaction.

Grandeurs standard de réaction. Enthalpie standard et enthalpie libre standard de formation. Capacité thermique molaire standard. Variation des valeurs standard de réaction avec la température. Approximation d’Ellingham.

Thermodynamique (3) : Equilibres chimiques.

Affinité chimique. Définition et expression de la constante d'équilibre thermodynamique K°. Variance, facteurs d'équilibre (P, T, xi). Variation de la constante d'équilibre avec la température ; relation de Van 't Hoff. Énoncé des lois de déplacement des équilibres.

Thermodynamique (4) : Mélanges binaires.

Équilibres liquide/vapeur. Équilibres solide/liquide. Théorème des moments chimiques.

Structure et organisation de la matière condensée (Cristallographie)

Définitions élémentaires sur la structure cristalline : réseau, noeud ,maille et motif. Systèmes cristallins. Population (nombre de motifs) d’une maille conventionnelle, coordinence, masse volumique et compacité. Empilements compacts de sphères identiques. Principaux types de cristaux. Cristaux métalliques. Cristaux ioniques. Cristaux covalents. Cristaux moléculaires.

Algèbre linéaire et Matrices

Ensembles des polynômes, polynômes d'endomorphismes, polynômes de Lagrange, Hyperplans, Sous-espaces stables, somme directe de sous-espace, Utilisation des matrices pour résoudre des problèmes d'algèbre linéaire, Matrices semblables, endomorphisme diagonalisable, utilisation de logiciels de calculs formels pour résoudre des problèmes d'algèbre linéaire.

Séries numériques

Convergence, divergence d'une série, Reste d'une série convergente, Séries à termes positifs (Régles de comparaison, Riemann, Règle de d'Alembert), Série absolument convergente, Série alternée, Calcul de la limite d'une série alternée.

Suites de fonctions

Convergence simple d'une suite de fonctions, convergence pour la norme infinie. Utilisation de grapheurs pour comprendre les méthodes utilisées.

Déterminants

Déterminants de n vecteurs en dimension n, d'un endomorphisme, d'une matrice carré, calculs de déterminants à l'aide de différentes méthodes à connaitre.

Suites et Séries de fonctions

Définitions des différents types de convergence, relations entre elles, théorèmes de comparaison, exemples de bases, théorèmes de continuité/dérivation terme à terme.

Intégration

Définition de l'intégrale de Riemann sur un segment non-borné, théorèmes de base sur cette intégrale, applications.

Techniques de base en analyse

Séance "transversale" visant à récapituler ce que l'on sait en analyse, à résumer quelques techniques usuelles (majoration, minoration, comparaison série/intégrale, découpe d'intégrale, équivalents usuels, dérivation sous le signe intégrale, etc) et utiles aux concours et à traiter quelques exemples d'application.

Chimie organique (2bis) : Alcènes

Théorie de Hückel simple : Orbitales Moléculaires (OM) de l’éthène (éthylène), description des systèmes conjugués, application au buta-1,3-diène.

Espaces vectoriels normés (PC, PSI)

Normes et distances. Espaces vectoriels normés de dimension finie. Applications continues.

Espaces vectoriels normés (généralités, MP)

Normes et distances. Suites à valeurs dans un e.v.n.. Topologie des e.v.n. Applications continues entre e.v.n., applications linéaires continues.

Complétude, compacité, espaces vectoriels normés de dimension finie (MP)

Complétude: applications aux séries et aux fonctions (prolongement de fonctions). Compacité. Espaces vectoriels de dimension finie.

Electronique

Révisions de sup : théorèmes généraux (Thévenin, Norton, Kirchhoff); amplificateur opérationnel : multivibrateur astable, comparateur à hystérésis;

Mécanique du solide

Cinématique et cinétique du solide; dynamique du solide; énergétique du solide.

Thermodynamique(1) : Energie libre et enthalpie libre.

Energie libre F ; enthalpie libre G ; potentiels thermodynamiques; corps pur sous deux phases.

Thermodynamique(2) : Diffusion thermique et diffusion des particules

Diffusion thermique : loi de Fourier; diffusion des particules : loi de Fick; conduction électrique : loi d'ohm; phénomènes diffusifs; équations de diffusion.

Mécanique des fluides (1) : Approches locales en mécanique des fluides.

Dérivée particulaire; conservation de la masse : équation locale;écoulement incompressible; fluide incompressible; équation de Navier-Stockes : force de viscosité; nombre de Reynolds; écoulement parfait; théorème de Bernouilli.

Mécanique des fluides (2) : Approches macroscopiques en mécanique des fluides.

Bilan macroscopique en système ouvert : bilan de moment cinétique, bilan de quantité de mouvement, bilan de masse; application au 1er principe de la thermodynamique; application du théorème de l'énergie cinétique pour un système macroscopique.

Induction électromagnétique.

ARQS: définition; force de Laplace; f.e.m induite : cas de Neumann, cas de Lorentz; loi de Faraday; loi de Lenz; effet de peau et conducteur réel; haut parleur électrodynamique et bilan de puissance: couplage électromagnétique parfait.

Dynamique des solides

Caractéristiques d'inertie des solides : masse, centre d'inertie, opérateur d'inertie. Cinétique : torseur cinétique, torseur dynamique et énergie cinétique dans le cas d'un solide ; Principe fondamental de la dynamique : principe fondamental de la dynamique des systèmes à masse conservative ; puissance des efforts extérieurs, des inter-efforts ; rendement ; théorème de l'énergie cinétique ou sous forme instantanée : énergie puissance.

Résistance des matériaux

Les poutres droites, Approche cinématique, hypothèse des petits déplacements : torseur des petits déplacements d’une section droite ; torseur des déformations. Approche efforts : modélisation des actions extérieures : champ linéique d'efforts et efforts concentrés ; décomposition d'une poutre en deux tronçons ; modélisation des efforts intérieurs : torseur de cohésion dans une section droite, Comportement élastique linéaire des matériaux, module d'élasticité longitudinal E, coefficient de Poisson , module d’élasticité transversal G ; limite conventionnelle d'élasticité R0,2%. Applications aux sollicitations classiques traction pure ; torsion pure des cylindres de révolution ; flexion plane. Critères de tenue mécanique.

Géométrie plane

Géométrie plane.

Géométrie dans l'espace

Déterminants

Coniques (1)

Equation cartésienne

Coniques (2)

Equation paramétrique ( représentation paramétrique)

Etudes locale de fonction

comparaison, prépondérance

Applications trigonométriques

Résolution d'équations dans C

Courbes paramétriques

Courbes paramétriques en représentation polaire

Développements limités et asymptotiques

Ensembles, applications

Ensemble des réels

Borne supérieure, borne inférieure

Etude métrique des courbes planes

Equations différentielles du 1er ordre

Equations différentielles 2ème ordre (1)

Equations différentielles 2ème ordre (2)

Arithmétique dans Z

Suites (1)

Définition de la limite (?)

Suites 2)

Etudes de suites (croissance, suite géométrique, récurrence)

Suites (3)

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2. Suites arithmético-géométriques.

Suites (4)

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2. Suites arithmético-géométriques.

Suites (5)

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2. Suites arithmético-géométriques.

Espaces vectoriels (1)

Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, sommes d'esp. vectoriels

Espaces vectoriels (2)

Familles génératrices, suites et bases

Fonctions (1)

Limite de fonctions, suites et continuité. Définitions et 1ers exemples

Fonctions (2)

Continuité sur un intervalle. Théorème des valeurs intermédiaires

Application linéaire (1)

Noyau, image, surjectivité

Application linéaire (2)

Exemples généraux, homotéties, symétries, projection, endomorphismes

Polynômes (1)

Etude de K [X]. Zéros des polynômes. Polynômes irréductibles.

Polynômes (2)

Arithmétique des polynômes. Factorisation des polynômes dans R [X] et C [X]. Division euclidienne.

Dérivation (1)

Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis.

Espace vectoriel de dimension finie

Comparaison des suites

Groupes et morphisme de groupes

Anneaux et corps

Intégration

Calculs de primitives. ∑ de Riemann.

Intégration et dérivation

Etudes de fonctions définies par une intégrale. Intégration par partie.

Application linéaires en dimension finie. Théorème du rang

Calcul matriciel

Matrices et applications linéaires

Changement de base

Fonctions de plusieurs variables (1)

Continuité

Fonctions de plusieurs variables (2)

Dérivation, théorème de Schwarz, dérivées partielles 1ères et 2des.

Esapces vectoriels euclidiens (1)

Produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz

Esapces vectoriels euclidiens (2)

Orthogonalité

Ensemble finis, dénombrement, formule de Newton-Leibniz

Automorphismes orthogonaux

Thermodynamique(1) : Introduction

Echelle mésoscopique,microscopique et macroscopique. Gaz parfait; gaz réel; équation d'état; termes correctifs(covolume et pression moléculaire) : interprétation physique. Coefficients thermoélastiques. Modélisation d'une atmosphère isotherme et introduction du facteur de Boltzmann. Théorie cinétique des gaz : définition de la pression cinétique.

Thermodynamique(2) : Premier principe

Energie interne : définition microscopique; propriétés, énoncé généralisé du premier principe : principe de conservation de l'énergie. Différence fondamentale entre transformation quasi-statique et transformation réversible. Deux modes de tranfert d'énergie : transfert thermique et transfert mécanique. Différentielle exacte.

Thermodynamique(3) : Second principe

Insuffisance du 1er principe;nécessité d'un second principe : énoncé. Interprétation de S(fonction entropie), propriétés. Transformation irréversible et entropie créée. Application aux machines thermiques avec thermostats et avec source(s)à température variable. Inégalité de Clausius-Carnot.

Classification périodique des éléments

Introduction des nombres quantiques. Configuration électronique (Pauli, Hund et Klechkowski). Construction de la classification périodique. Évolution de quelques propriétés atomiques. Électrons de cœur et de valence.

Structure électronique des molécules.

Notation de Lewis. Règle de l'octet. mésomérie et résonance. VSEPR.

Cinétique Chimique (1) :Vitesse en cinétique chimique, facteurs de la cinétique et lois de vitesse.

Vitesses de disparition d'un réactif et de formation d'un produit. Avancement d’une transformation. Vitesse de réaction. Loi de vitesse. Dégénérescence de l'ordre. Temps de demi-réaction. Loi empirique d'Arrhenius ; énergie d'activation.

Cinétique chimique (2) :Mécanismes réactionnels en cinétique homogène.

Cinétique formelle : réactions inverses l'une de l'autre, réactions parallèles, réactions consécutives. Approximation de l'état quasi-stationnaire (AEQS). Processus élémentaires, molécularité d'un processus, intermédiaires réactionnels, état de transition. Interprétation microscopique qualitative du rôle de la température et des concentrations sur la vitesse d'un processus. Mécanismes en séquence ouverte (par stades). Etape cinétiquement déterminante. Mécanismes en séquence fermée (en chaîne).

Stéréochimie des molécules organiques.

Représentations de Newman, de Cram et perspective. Stéréo-isomérie de configuration : Z et E, R et S, énantiomérie et diastéréoisomérie. Conformation.

Réactivité de la double liaison carbone carbone.

Addition électrophile et addition radicalaire. Coupures par ozonolyse.

Les organomagnésiens mixtes.

Préparation des organomagnésiens mixtes. Nucléophilie, basicité des organomagnésiens mixtes. Réactions sur le groupe carbonyle (cétones, aldéhydes, esters, chlorures d’acyle, anhydride d’acide) sur le dioxyde de carbone, sur le groupe nitrile et sur les époxydes.

Mécanique (1/2)

Mécanique du point(Rappels de dynamique ,cinématique); énergie potentielle: équilibre stable, instable; énergie mécanique; forces conservatives; oscillateurs harmonique à un degré de liberté; résonance(régime sinusoïdal forcé).

Mécanique(2/2)

Théorème du moment cinétique; dynamique dans un référentiel non galiléen;Caractère galiléen approché des référentiels : terme de marée; problème à 2 corps : référentiel barycentrique; forces centrales conservatives : énergie potentielle effective, diagramme énergétique; trajectoires : coniques, lois des aires, lois de Képler, vecteur excentricité.

Optique géométrique(1/2)

Définitions et lois de l'optique géométrique : hypothèses d'application, principe de Fermat, indice de réfraction,lois de Snell-Descartes; formations d'images : stigmatisme, aplanétisme, objet et image "réel" / "virtuels";

Optique géométrique(2/2)

Miroirs et dioptres plans;miroirs sphériques;lentilles minces; focométrie : méthode de Bessel, méthode de Silbermann, autocollimation. Lunette astronomique, microscope, lunette de Galilée.

Analyse fonctionnelle

Analyse fonctionnelle externe,Analyse du besoin, Graphe des prestations,Analyse fonctionnelle du besoin, diagramme des interactions, cahier des charges fonctionnel. Analyse fonctionnelle interne, Fonction technique, solution technique, FAST, SADT

Le modèle quantique de l'atome

Densité de probabilité de présence de l’électron pour une espèce hydrogénoïde. Atomes polyélectroniques : approximation orbitalaire, notion de charge effective dans le modèle de Slater ; expressions de l’énergie pour les atomes hydrogénoïdes et pour les atomes polyélectroniques. Rayon atomique. Rayon ionique.

Nombre complexes

Résolution d'équations faisant intervenir la racine n° de l'unité, résolution algébrique d'une équation du second degré dans C, Développement de cos(nx) et linéarisation de sin^n(x), représentation des transformations du plan, méthode de l'argument moitié, somme des cos(kx), utilisation d'un logiciel de calcul formel pour résoudre des équations complexes, Formule du binôme de Newton.

Fonctions usuelles et réciproques

Étude des fonctions usuelles (fonction logarithme, exponentielle, circulaires, hyperboliques) et de leurs réciproques, exemple d'étude de la réciproque d'une fonction non connue, utilisation de logiciels afin de mieux comprendre les différentes notions, détermination de la réciproque d'une fonction à l'aide d'une équation, injection, surjection, dérivation, limite, équations trigonométriques.

Équations différentielles

Résolution d'équations linéaires du premier et du second ordre, méthode de la variation de la constante, recherche de solutions particulières dans le cas où le second membre est un polynôme ou le produit d'un polynôme et d'une exponentielle. Résolution d'une équation différentielle atypique. Résolution d'équation différentielle à l'aide d'un logiciel de calcul formel. Explication de la méthode d'Euler avec une animation video. Equation fonctionnelle.

Courbes paramétrées

Etude de courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes, branche parabolique, droites asymptotiques, point régulier. Courbe définie par une équation polaire. Utilisation de grapheurs pour comprendre le tracé des courbes.

Automatique (1)

Modélisation des SLCI par équation différentielle, Consigne, Réponse et modèle, Résolution de l’équation différentielle, La transformée de Laplace, Théorèmes de la valeur initiale et finale, transformées usuelles, Transformée de Laplace inverse (décomposition en éléments simples)

Automatique (2)

Représentation des SLCI par FT, Forme canonique : gain statique, ordre et classe, pôles et zéros. Représentation des SLCI par schéma-bloc, FTBO, FTBF,Schéma bloc d'un système asservi élémentaire (chaîne directe, chaîne de retour, comparateur, erreur et image de l'erreur),Simplification de schémas-blocs.

Automatique (3)

Erreur statique,Erreur de poursuite,Comportement temporel des systèmes proportionnels (ou de gain pur), dérivateurs et intégrateurs. Comportement temporel des systèmes du premier ordre, Temps de réponse à 5%.

Automatique (4)

Comportement temporel des systèmes du deuxième ordre, pulsation propre,coefficient d’amortissement, Réponse à une impulsion, à un échelon (indicielle), à une rampe.

Cinématique (1)

Cinématique du solide, Champ des vecteurs vitesses, Composition des vecteurs vitesses, des vecteurs vitesses de rotation, des torseurs cinématiques. Démarche de détermination analytique de la vitesse d’un point appartenant à un solide. Champ des vecteurs accélérations des points appartenant à un solide.

Cinématique (2)

Cinématique graphique

Electrocinétique(1/2)

Circuit électrique en régime stationnaire(ARQS); puissance en régime stationnaire; méthodes d'étude d'un circuit électrique en régime permanent : Thévenin, Norton, Millman,lois de Kirchhoff; circuis RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension.

Electrocinétique(2/2)

Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé; puissance en régime sinusoïdal forcé; transfert d'un système linéaire : filtres du premier ordre; filtres du deuxième ordre.

Electromagnétisme(1/2)

Distributions de charges; champ électrostatique; circulation et potentiel électrostatique; théorème de Gauss; dipôle électrostatique.

Electromagnétisme(2/2)

Mouvement des particules chargées dans un champ E et B; distributions de courants; champ magnétostatique; théorème d'Ampère; dipôle magnétique.

Modélisation cinématique des liaisons

Modélisation des pièces par des « solides parfaits », Modélisation des liaisons, Modélisation des liaisons par des « liaisons parfaites », degré de liberté d’une liaison, Liaisons normalisées entre solides, Schéma cinématique, Liaisons cinématiquement équivalentes, Liaisons en série, Liaisons en parallèle, Loi entrée-sortie d’un mécanisme, Détermination par la cinématique du solide, Détermination par fermeture géométrique.

Statique Analytique

Action mécanique transmissible par une liaison parfaite, Dualité torseur cinématique / torseur de l'A.M. transmissible par une liaison parfaite, AM Extérieure et intérieure d’un système isolé, Principe Fondamental de la Statique (PFS), Traduction torsorielle du PFS, Traduction scalaire du PFS pour un système spatial, Hypothèse problème plan, Traduction scalaire du PFS pour un système, Modélisation des actions mécaniques de contact ponctuel, Lois de Coulomb, Notion d'arc-boutement

Statique Graphique

Particularités des solides soumis à des glisseurs uniquement, Solide soumis à 2, 3 et 4 glisseurs, Démarche de résolution à l'aide d'une modélisation par des glisseurs, Démarche de résolution d’un problème de statique graphique.

Logique Combinatoire (1/2)

Variables binaires (logiques ou booléennes), Définition d'une fonction logique, Représentation d’une fonction logique, Table de vérité, Equation logique, Algèbre de Boole, théorèmes de De Morgan, Schéma à contacts, Logigramme, Tableau de Karnaugh, Utilisation de cellules universelles, AND, OR, NON, NAND, NOR, ET INCLUSIF (IDENTITÉ) .

Logique Combinatoire (2/2)

Définitions de mots, bits et octets, Système de numération, Changement de base, Code binaire réfléchi ou code Gray, Code BCD (Binary Coded Décimal), Correspondance entre différents codages.

Système Séquentiel / GRAFCET

Éléments de base et structure d’un GRAFCET, Règles du GRAFCET (Situation initiale, Franchissement d'une transition, Évolution des étapes actives, Évolutions simultanées, Activation et désactivation simultanées d'une étape), Possibilité d’évolution fugace, Différents types d’actions : Continue, conditionnelle, maintenue, dépendante du temps, retardée, limitée dans le temps, Types de réceptivités Structuration par macro-étapes et expansion de macro-étapes, Construction d'un compteur.

Spécifications géométriques et règles de cotation des ensembles mécaniques

Définitions : élément réel, élément spécifié critères d’association, référence, système de références ordonnées, règles de construction. Description normalisée de la cotation. Disposition normalisée de la cotation sur les dessins. Spécifications des tolérancements : principe de l'indépendance et exigence de l'enveloppe, tolérances intrinsèques : dimension, forme, état de surface ; ajustements normalisés ; tolérancement d’orientation ; tolérancement de position ; battement ; exigences du maximum de matière.

Assemblage des pièces - Liaison encastrement

Caractérisation de la fonction technique ; principes d’immobilisation par obstacles ou adhérence ; familles de solutions ; technologie des composants, critères de choix ; solutions techniques et conception des liaisons : à plan prépondérant, à cylindre prépondérant, à cône prépondérant ; conditions d'utilisation et calculs relatifs à la transmission d'un couple ou d’un glisseur : assemblages cylindriques (goupilles, clavettes, cannelures), assemblages coniques non auto frettés, liaison à encastrement plan prépondérant ;

Guidage en rotation

architecture des guidages en rotation, guidage en rotation avec glissement, roulements, paliers lisses, conditions d’utilisation et dimensionnements correspondants.

Procédés d'obtention des pièces

Présentation des principaux modes d'obtention des pièces brutes : moulage, déformation plastique, mécano soudure ; Situation du moulage parmi ces procédés. Obtention de surfaces par enlèvement de matière : présentation structurée des principaux procédés d'obtention des surfaces par enlèvement de matière. Présentation structurée des techniques principales d’obtention des surfaces des pièces usinées (principe de génération et cinématique) ; situation du fraisage, du tournage et des opérations axiales parmi ces techniques ; moyens d’usinage : mise en œuvre des machines-outils : mise en position et maintien des pièces.

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